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Moderne Matrix-Algebra: Mit Anwendungen in der Statistik by Prof. Dr. Karsten Schmidt, Prof. Dr. Götz Trenkler (auth.)

By Prof. Dr. Karsten Schmidt, Prof. Dr. Götz Trenkler (auth.)

Das Buch vermittelt moderne Konzepte der Matrix-Algebra, die beispielsweise bei der Lösung linearer Gleichungssysteme und im linearen Regressionsmodell von großem Nutzen sind. Dazu zählen vor allem verallgemeinerte Inversen und Moore-Penrose-Inverse. Daneben werden alle wichtigen Standard-Methoden der Matrix-Algebra umfassend dargestellt. Die Autoren zeigen zudem detailliert, wie intestine das Computer-Algebra-System DERIVE im Bereich der Matrix-Algebra eingesetzt werden kann. Durch die vielen ausführlich durchgerechneten Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen ist das Buch besonders für Anfänger geeignet.

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Erlliuterungen: • Eine quadratische Matrix heiBt Einheitsmatrix, wenn alle Elemente ihrer Hauptdiagona1e Einsen und alle ubrigen Elemente Nullen sind. Als Symbol benutzen wir 1: 1 nxn = 1 O O 1 O O O O 1 • Ein Vektor, dessenj-tes Element eine Eins und dessen ubrige Elemente Nullen sind, heiBt (j-ter) Einheitsvektor im IRn • Als Symbol benutzen wir ej (also nicht ij ). B. im 1R3 el 3x\ = (~J; =(~J; =(~J O e2 3x\ O e3 3x\ 1 2 Spezlelle Matrizen 28 • Matrizen Bij' die nur an der Stelle (i,j) eine 1 aufweisen und deren iibrige Elemente alle O sind, hei8en Basismatrizen.

Erliiuterung: Der Rang einer Matrix A ist die maximale Zahl linear unabhăngiger Spalten bzw. Zeilen von A, wobei es vollig unerheblich ist, ob man die Spalten oder Zeilen von A untersucht, da Spaltenrang gleich Zeilenrang ist. Sinnvoll ist es aber, die Spalten von A zu untersuchen, wenn n < m ist, und im anderen Fali die Zeilen. h. r(A) eNo. Leider IăSt sich der Rang einer Matrix nicht·so leicht berechnen wie die Spur. Die Bestimmung der maximalen Anzahl linear unabhăngiger 3 MaBzahlen von Matrizen 55 Spalten (Zeilen) kann sogar ziemlich aufwendig werden, vor allem, wenn die Dimension von A groB ist.

Beispielsweise kann tr( ABC) schon deswegen nicht stets gleich tr(CBA) sein, weil das Produk:t CBA nur dann existiert, wenn m = n = k ist. h. die Spur eines Produk:ts beliebig vieler Matrizen ăndert sich bei zyklischer Vertauschung nicht (vgl. auch Beispiel 5). 3 Malzahlen von Matrlzen 53 Beispie/e: 3) a) A 3x2 (~2 4~); B =(01 = 3 31) 2 2x3 tr(AB) = tr[~ ~ ~) 4 14 14 =2+6+14=22 b) tr(BA) = tr(1811:) =8+14=22 4) A 2x2 (aua a --+-- I2 ). 2 RANG Definitionen: • Eine Menge von Vektoren al' ... h. es gibt Skalare Â-l,Â-2, ••• ,Â-;_I,Â-;+I, ••• ,Â-n mit n ai =LÂ-jaj j=l j"'i fUr mindestens ein i.

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