German 7

Methoden der Potentialtheorie für Elliptische by Bert-Wolfgang Schulze, Günther Wildenhain (auth.)

By Bert-Wolfgang Schulze, Günther Wildenhain (auth.)

Die Theorie des NEWToNschen Potentials von Massenverteilungen im Raum ist eines der ältesten Beispiele einer Verbindung von physikalischer Anschauung und mathematischer Interpretation. Bedeutende Mathematiker vieler Generationen, wie C. F. GAUSS, H. POINCARE, D. lIILEERT, N. WIENER haben daran mitgearbeitet. Die Entwicklung der modernen Potentialtheorie ist auch wesentlich durch die Arbeiten von G. C. EVANS, M. RIEsz, O. FBOSTMAN, M. V. KELDYs, M. BRELoT, H. CARTAN, J. DENY, G. CHOQUET, J. L. DooE, H. BAUER, C. CONSTANTINESCU, V. G. MAz 'JA, B. FUGLEDE und anderen bestimmt worden. Historische Darstellungen wurden z. B. in [K6], [A30], [B40] gegeben. Obwohl einige Teile der Potentialtheorie heute als im wesentlichen abgeschlossen gelten, hat sich die Entwicklung in den letzten Jahren wieder erheblich verstärkt, seit sich viele ihrer leistungsfähigen Begriffe und Methoden durch den zunehmenden Einsatz funktionalanalytischer Methoden auf weite Klassen von Problemen aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen anwenden lassen. Daneben sind in der research auch davon unabhängige Bestrebungen von potentialtheoretischem Charakter zu beobachten.

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Dabei sind X, rA festgehalten. Die Meßbarkeit einer Funktion I: X -+ R ist mit jeder der folgenden Bedingungen äquivalent (vgl. [B 12]): {x EX: I(x) Sind 11: X -+ > a} E rA für alle a ER, {xEX:/(x»a}ErA füralleaER, {x EX: I(x) < a} E rA für alle a ER, {x EX: I(x) < a} E rA für alle a ER. R (i = 1, 2) meßbare Funktionen, so liegen die folgenden Mengen in rA: {x E X: Mx) < Mx)} , {x EX: ft(x) = Mx)} , {x E x: Mx) < 12(X)} , ± Weiterhin sind auch die Funktionen 11 12 und 11 . 12 meßbar (falls sie auf ganz X definiert sind).

Dp. -, wobei unbestimmte Ausdrücke der Gestalt 00 - 00 oder - 00 00 ausgeschlossen oder gesondert interpretiert werden müssen. 11. Topologische Eigenschaften von IDl(X) X sei ein lokal kompakter HAusDoBFF-Raum, und 9,R(X) sei die Menge der RADONMaße auf X. ) = It,t(f) 1 in 9,R(X) definierte lokalkonvexe Topologie ist die zu dem dualen Paar (Go (X), 9,R(X» gehörende w*-Topologie. In dieser Topologie werden wir 9,R(X) stets betrachten, falls nichts anderes gesagt wird. Diese w*-Topologie wird häufig auch als vage Topologie bezeichnet.

J ! IX - zlaH-n PaH(x, z) = 1 + B(x, z) PaH(x, z) +bfür a + b für a < n 0 log Ix - zl n = O. 1 füra+b-n>O Polare Kerne und insbesondere Satz 3 spielen beim Beweis der SOBoLEvschen Einbettungssätze eine Rolle (vgl. [S 40]). Enge Beziehungen von Einbettungssätzen mit elliptischen Gleichungen, speziell die Formulierung von Lösbarkeitsbedingungen sowie das Studium von Kapazitätsbegriffen, wurden von V. G. MAZ'JA untersucht. Einen Spezialfall für Satz 3, den wir später benötigen, werden wir beweisen, nämlich Lemma 4 ([B 36]).

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