German 6

FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode by Bernd Klein

By Bernd Klein

Die rechnerunterstützte, virtuelle Produktentwicklung ist heute in der Industrie Realität geworden. Methodisch führt dies zur Verknüpfung von 3-D-CAD, MKS, FEM, STRUOPT und Rapid-Prototyping zu einem integrativen Konzept. Hiermit sind die Ingenieure gefordert, rechnerunterstützte Arbeitstechniken gründlich zu erlernen. Kern der CAE-Technik ist aber die Finite-Element-Methode (FEM), die alsuniverselles Analysewerkzeug tiefe Einblicke in die Elastik, Dynamik, Mehrkörper-Kinematik sowie das thermische- und strömungs-mechanische Verhalten von Bauteilen und Systemen ermöglicht. Auf foundation dieser Simulationen sind sichere Auslegungen möglich, womit sich concepts- und Erprobungszeiten verkürzen lassen. Durch die hohe Aussagequalität, den frühzeitigen Erkenntnisgewinn und die Kostenersparnis amortisieren sich FEM-Anwendungen meist sehr schnell.

Dieses Lehr- und Übungsbuch stellt in anschaulicher Weise die FE-Methode und die Anwendungsprobleme in einem CAE-Umfeld da. Ausgearbeitete Fallstudien sowie zusätzliche

Übungsaufgaben unterstützen geeignet das Selbststudium.

Der Inhalt

• Grundlagen der FEM
• Verständnis des Ablaufs und der programmtechnischen Realisierung
• Elementbeschreibung, Konvergenzverhalten, Vernetzung und Gleichungslösung
• Lösung von linearen und nichtlinearen Festigkeitsproblemen
• exemplarische Behandlung von Mehrkörperstrukturen (MKS), Dynamik, Wärmeübertragung und Multiphysik sowie
• Anwendungsregeln, Fehlervermeidung und QS von Ergebnissen

Zu allen Problemgebieten werden gelöste Fallstudien sowie Verständnisaufgaben gezeigt.

Die Zielgruppen

Studierende an Fachhochschulen und Technischen Universitäten, Ingenieure in der Praxis

Der Autor
Dr.-Ing. Bernd Klein ist Universitätsprofessor an der Universität Kassel, Arbeitsgebiete: Leichtbau, CAE und Betriebsfestigkeit.

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Damit ist auch die Koeffizientenmatrix symmetrisch über die Hauptdiagonale. Besonders vorteilhaft lässt sich die Matrix-Steifigkeitsmethode bei stabartigen Tragwerken anwenden. 2 eingeführt ist. 2: Vorgehensweise der Matrix-Steifigkeitsmethode (nach /HAH 75/) am Federmodell a) Ansatz für das lineare Federelement b) Systemansatz für zwei Federelemente c) gebundenes System (ci = Federkonstante; ci = (G · di4 ) / (8 · Di3 · w)) 4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode 36 Das Federelement repräsentiert dabei ein eindimensionales finites Element.

Im Inneren sollen noch Volumenkräfte p (Eigengewicht, Fliehkräfte o. ) auftreten. 4: Zugelassene äußere Lasten an einem 3-D-Körper (Hilbert-Raum) Die virtuelle Endarbeit der äußeren Lasten kann dann folgendermaßen angesetzt werden: įWa = įu t ⋅ F + ³ įu t ⋅ p dV + ³ įu t ⋅ q d 0 . 31) 0 Hierzu korrespondiert die innere virtuelle Endarbeit δWi = ³ įİ t ⋅ ı dV . V Gemäß Gl. 33) 0 führt. Die uns bekannten Beziehungen für die Verzerrungen İ = D⋅u bzw. für die Transponierung der Verzerrungen į İ t = įu t ⋅ D t und für die Spannungen ı = E⋅İ = E⋅D⋅u sollen nun mit dem Ziel eingeführt werden, die Spannungen zu eliminieren.

U ) angesetzt werden. In späteren Betrachtungen werden wir noch einmal auf die Besonderheiten der Elastodynamik eingehen. 4 Finites Grundgleichungssystem Für die Problemklassen Elastik und Dynamik sind also mit Gl. 29) jeweils die Gleichgewichtsgleichungen definiert worden. Beide Gleichungen stellen Differenzialgleichungen dar. Auf Grund der Ausführungen in Kapitel 2 ist uns bisher bekannt, dass wir zur näherungsweisen Verarbeitung einer Differenzialgleichung zwei Möglichkeiten haben, und zwar einmal durch Heranziehen des Variationsprinzips eine Ersatzgleichgewichtsgleichung zu formulieren oder mit dem Ansatz von Galerkin die Differenzialgleichung in ein Funktional zu verwandeln.

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