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Entscheidungen bei Ungewißheit: Axiomensysteme für by Ralf Diedrich

By Ralf Diedrich

Neuere Entwicklungen der Entscheidungstheorie, die in der deutschsprachigen Literatur bislang noch kaum Beachtung fanden, sind Gegenstand dieses Buchs. Es geht um Alternativen zur subjektiven Erwartungsnutzentheorie, die der Erfassung intransitiver Präferenzen und der Berücksichtigung von Ergebnisplausibilitäten, Ambiguität, potentieller Enttäuschung und potentiellem Bedauern dienen. Im Mittelpunkt steht ein axiomatischer Ansatz, der die Entwicklung leicht verständlicher Axiomensysteme und die Lösung einiger bislang noch ungelöster Axiomatisierungsprobleme erlaubt. Die ausführlich dargestellten Beweise sind in Anhänge zu den einzelnen Kapiteln ausgelagert.

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Axiom A4 ist von Bedeutung insofern, als ohne die Existenz zweier Ergebnisse, von denen der Entscheidungsträger das eine dem anderen strikt präferiert, alle Alternativen gleichmäßig präferiert werden; dies folgt für einfache Alternativen unmittelbar aus dem Dominanzprinzip. Von einem echten Entscheidungsproblem kann dann wohl kaum die Rede sein, weshalb Axiom A4 auch als Nichttrivialitätsbedingung zu bezeichnen ist. Ohne Axiom A4 wäre zudem die Existenz der Wahrscheinlichkeitsrelation nicht sichergestellt, womit die Grundlage für die Repräsentation der Wahrscheinlichkeitseinschätzungen des Entscheidungsträgers durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß entfiele.

Aus der Definition der Nutzenfunktion sowie dem angefiihrten Ergebnis folgt, daß x A z ~ y genau dann gilt, wenn u[x] P(A) + u[z] (1 - P(A)) = u[y] ist. I Hieraus resultiert bereits die Geltung des angestrebten Repräsentationstheorems ftir alle Alternativen mit zwei möglichen Ergebnissen. Axiom A5 erlaubt es, dieses Resultat im Wege der Induktion auf alle einfachen Alternativen auszuweiten: Repräsentationstheorem A, Teil 11 Bei Geltung der Axiome Al bis A7 existiert eine Funktion u: X ~ /Il, so daß für alle Xi € X und alle Ai, Bi € S mit i = 1, ...

Axiom A5 erlaubt es, dieses Resultat im Wege der Induktion auf alle einfachen Alternativen auszuweiten: Repräsentationstheorem A, Teil 11 Bei Geltung der Axiome Al bis A7 existiert eine Funktion u: X ~ /Il, so daß für alle Xi € X und alle Ai, Bi € S mit i = 1, ... , n gilt Xn An Xn-l An-I ... X2 A2 Xl ;S Xn Bn Xn-l Bn-l ... X2 B2 Xl <:::> 4=1 u[x;} P(AJ 54=1 u[x;} P(BJ. Die Funktion u ist bis aufpositive lineare Transformationen eindeutig bestimmt. Da einfache Alternativen nur endlich viele Ergebnisse erbringen können, lassen sich zwei einfache Alternativen immer in der Form Xn An Xn-I An-I ...

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