Graph Theory

Éléments de théorie des graphes by Alain Bretto

By Alain Bretto

Ce livre a pour objectif d’introduire le lecteur � l. a. théorie des graphes. En quelques décennies, cette théorie est devenue l’un des domaines les plus féconds et les plus dynamiques des mathématiques et de l’informatique. Elle permet de représenter un ensemble complexe d’objets en exprimant les family entre les éléments : réseaux de conversation, circuits, and so on. Foisonnante, cette théorie se situe aujourd’hui au frontières de domaines tels que l. a. topologie, l’algèbre, los angeles géométrie, l’algorithmique et ses functions.

Après avoir introduit le langage de base [ch.1], les auteurs présentent les différents forms de graphes (bipartis, arbres, arborescences, eulériens et hamiltoniens) [ch.2], puis les family entre les graphes et les buildings de données algorithmique [ch.3]. Les auteurs exposent ensuite l. a. connexité et les flots [ch.4], puis l. a. thought de planarité [ch.5]. Ce sont ensuite les elements algébriques élémentaires de l. a. théorie des graphes qui sont étudiés [ch.6], puis les hues et les couplages de graphes [ch.7 et 8]. L’avant dernier chapitre aborde los angeles théorie spectrale des graphes [ch. 9], avant de laisser position � une examine consacrée aux développements récents de los angeles théorie (polynômes de Tutte, matroïdes, hypergraphes, etc.)

Ce livre, available aux étudiants et élèves ingénieurs dès los angeles Licence, intéressera aussi tous ceux ayant � cœur de d’approfondir leurs connaissance par une approche non typical � l. a. théorie des graphes, et souhaitant s’informer tant les features algébriques et topologiques que sur les derniers développement de los angeles théorie. Le yet étant d’amener le lecteur au seuil de los angeles recherche dans ce domaine.

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Supposons que ϕ : Γ1 −→ Γ2 soit un isomorphisme ; on construit ψ ∈ Aut(Γ) par : ψ(x) = ϕ(x) si x ∈ V1 , ψ(x) = ϕ−1 (x) si x ∈ V2 (car l’inverse d’un isomorphisme est un isomorphisme). Il est clair que ψ ∈ Im(j). 1. Ainsi le problème de l’isomorphisme de graphes peut se ramener au problème du calcul de l’ordre (cardinal) du groupe d’automorphismes d’un graphe : s’il existe un algorithme capable de calculer l’ordre du groupe d’automorphismes d’un graphe en un temps polynomial, alors GI est dans la classe P.

Tk )) = O(t). La première boucle rencontrée a une complexité en m, la seconde a une complexité en n, par conséquent ce bloc a une complexité en O(n · m · t) = O(n · m). 10. Calculer la complexité des autres blocs d’instructions définis ci-dessus. 3 Classes de complexité La théorie de la complexité est sans doute une des parties de l’informatique théorique les plus importantes. Cette théorie est fortement liée à la notion de mathématique effective : de manière non formelle on peut dire qu’un problème mathématique est effectif si on peut le résoudre avec un algorithme.

On peut donc orienter les arêtes de Γ de sorte qu’il soit fortement connexe. Si toutes les arêtes de Γ sont contenues dans Γ , alors Γ = Γ est orientable. Sinon, le graphe étant connexe, on peut trouver une arête a0 incidente à un sommet x0 de Γ ; par hypothèse, cette arête fait partie d’un cycle dans Γ ; il existe donc une chaîne C = (x0 , a0 , x1 , a1 , x2 , . . , ak−1 , xk ) partant de Γ en x0 et revenant pour la première fois sur Γ en xk . On oriente cette chaîne « linéairement » (il y a deux façons de le faire) en définissant les arcs (x0 , x1 ), .

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