Logic

Einführung in die operative Logik und Mathematik by Paul Lorenzen

By Paul Lorenzen

In die operative Logik und Mathematik Zweite Auflage Springer-Verlag Berlin Heidelberg big apple 1969 Paul Lorenzen o. Prof. der Philosophie an der Universitat Erlangen Geschaftsfilhrende Herausgeber: Prof. Dr. B. Eckmann Eidgenossische Technische Hochschule Zurich Prof. Dr. B. L. van cler Waerclen Mathematisches Institut der Universitat ZUrich ISBN 978-3-642-86519-0 ISBN 978-3-642-86518-3 (eBook) DOl 10.1007/978-3-642-86518-3 Aile Rechte vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Springer-Verlages ubersetzt oder in irgendeiner shape vervielfaltigt werden (c) by way of Springer-Verlag Berlin. Heidelberg 1955 und 1969 Softcover reprint of the hardcover second version 1969 Library of Congress Catalog Card quantity 73-76724 Titel-Nr. 5061 Vorwort zur zweiten Auflage. Fiir die Neuauflage ist der textual content nur unwesentlich geandert worden. Es ist - neben der Korrektur einiger Ungenauigkeiten - vor allem die Terminologie und Symbolik an meine spateren Arbeiten angeglichen. Obwohl ich - verstandlicherweise - jetzt die Ansatze der spateren Arbeiten fiir "sachgemaBer" halte, z. B. eine Logik der Dialoge statt einer Logik der Kalkiile, die Verwendung indefiniter Quantoren statt einer expliziten Konstruktion von Sprachschichten, enthalt diese Neu auflage den Inhalt der 1. Auflage unverandert. Der Leser kann additionally einen Vergleich mit meinen spateren Arbeiten (vgl. Literaturverzeichnis) seIber durchfiihren. Mein Dank gilt wiederum dem Verlag fiir seine entgegenkommende Mitarbeit bei der Vorbereitung dieser Neuauflage. Erlangen, den 1. November I968. PAUL LORENZEN. Vorwort zur ersten Auflag

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Der Unterschied zwischen freien und gebundenen Variablen, der an diesen Beispielen wohl deutlich geworden ist, ist im folgenden stets zu beachten. §4. Induktion und Inversion. Wir haben in § 3 an einigen Beispielen gesehen, wie Aussagen der Form durch Eliminationsverfahren bewiesen werden konnten. Indem der Kalkiil durch Hinzufugung der Regeln R I , ... , Rn zu einem Kalkiil K' erweitert wurde, kam es darauf an, die Aussage I-K' R zu beweisen. Es war ein Verfahren zu suchen, aus jeder Ableitung in K', die R zusatzlich benutzt, die Regel R zu eliminieren, ohne etwas an der Endaussage zu andem.

Die Regel ao --+a ist also als zulassig in Kl bewiesen. Dieses Eliminationsverfahren benutzt den Umstand, daB eine Belegung der Vorderformel ao nur bei gewissen Regeln des Kalkiils (hier (Rl )) als Belegung der Hinterformel auftritt. Eine Ableitung. in der Ao auftritt, muB also auch die Belegung der Vorderformeln dieser Regel (hier A) enthalten. Ein weiteres Beispiel wird das Prinzip deutlich machen. la--+oao. 1. Protologik. 30 Eine Ableitung in K3 nach Hinzufugung von la~oao, in der diese Regel zum erstenmal in Zeile n benutzt wird, und dort oAo liefert, enthalt in den vorangehenden Zeilen eine Ableitung von IA in K 3 • Eine Ableitung von IA in K3 enthalt in der letzten Zeile eine Anwendung von einer der beiden Regeln (Rs) , (R3) (denn die Belegungen der Hinterformeln aller anderen Regeln sind ungleieh IA).

Dieses Prinzip entspricht in der traditionellen Logik dem Grundsatz, daB eine falsche Aussage jede beliebige Aussage impliziert: ex falso quodlibet sequitur. Es ist oft betont worden, daB dieser Grundsatz dem "inhaltlichen Denken" nicht adaquat sei. 1m Gegensatz dazu sehen wir aber, daB dieser Grundsatz vom operativen Begriff der Zulassigkeit aus leicht zu rechtfertigen ist. + + In den letzten Paragraphen haben wir damit fUnf Prinzipien zur Gewinnung von zulassigen Regeln erhalten: (1) Deduktionsprinzi p ; (2) Induktionsprinzip; (3) Inversionsprinzip; (4) Gleichheitsprinzip; (5) Unableitbarkeitsprinzip.

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